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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
medidas de posición
CONCEPTO:
Las medidas de posición relativa se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes grupos: Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles.
Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
*Entre las medidas de posicion tenemos :
-cuartiles
-quintiles
-deciles
-percentiles
cuartiles (Qk)
DEFINICIÓN:
Son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la formula:
Qk = k (n/4)
En donde:
- Qk = Cuartil número 1, 2, 3 o 4.
- n = total de datos de la distribución.
* Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana.
* Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos:
1º Se ordenan los datos de menor a mayor.
2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4)
Para que te quede más claro:
El primer cuartil (Q1)
es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distibución ordenada de menor a mayor.
El segundo cuartil (Q2)
es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana.
El tercer cuartil (Q3)
es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.
Ejemplos:
a) Dado el siguiente conjunto de datos: 2 ; 5 ; 9 ; 3 ; 13 ; 10 ; 11 ; 6 ; 7. ¿Cuál es el valor del tercer cuartil?
1° ordenamos los datos de menor a mayor:
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13
n= 9
2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4)
Q3 = 3 (9 /4)
Q3 = 6,75
En caso de ser un número decimal se aproxima al entero más cercano superior , que sería 7. Este valor indica la posición del cuartil 3.
-En nuestro caso el 7° valor sería :
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13
Respuesta: el valor del tercer cuartil sería 10
b) Dadas las siguientes tablas de datos. Calcule los cuartiles Q1,Q2,Q3
Respuesta:
-En la primera serie el número total de datos es n = 70, por lo que:
.......Q1 → 1(n/4) = 1( 70/4 ) = 17,5 (indica la posición en que se encuentra el Q1)
.......Q2→ 2 (n/4) = 2 (70/4) = 35 (indica la posición en que se encuentra el Q2)
.......Q3→ 3 (n/4) =3 (70/4) = 52,5 (indica la posición en que se encuentra el Q3)
Y se desprende directamente de la tabla de frecuencias absolutas que:
Q1 = 5, ya que si nos fijamos en la tabla el número 17,5 se encuentra contenido en el número 32 de la tabla.
Q2 = 7, ya que si nos fijamos en la tabla el número 35 se encuentra contenido en el número 52 de la tabla.
Q3 = 10, ya que si nos fijamos en la tabla el número 52,5 se encuentra contenido en el número 66 de la tabla.
En la segunda serie el número total de datos es n = 64, por lo que:
Q1 → 1(n/4) = 1( 64/4 ) = 16
Q2→ 2 (n/4) = 2 (64/4) = 32
Q3→ 3 (n/4) =3 (64/4) = 48
Y se desprende directamente de la tabla de frecuencias absolutas que:
Q1 = 5
Q2 = (5+7) / 2 = 6
Q3 = 7
deciles (dk)
DEFINICIÓN:
Corresponden a los 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales es decir, al 10%, al 20%... y al 90%. Los Deciles se designan por D1, D2,..., D9
Dk = k (n/10)
En donde:
- Dk = DECIL número 1, 2, 3, ......., 10.
- n = total de datos de la distribución.
* Se advierte que la posición del quinto decil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el quinto decil será siempre igual a la mediana.
* Para calcular los deciles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos:
1º Se ordenan los datos de menor a mayor.
2º Se determina la posición que ocupa cada decil mediante la fórmula: Dk = k (n/10)
Para que te quede más claro:
El primer DECil (D1)
es el valor de la variable que supera a lo más el 10 % de los datos y es superado por a lo más el 20 % de ellos en la distibución ordenada de menor a mayor.
El segundo decil (D2)
es un valor que supera a lo más el 20 % de los datos y es superado por a lo más el 30 % de ellos, es decir, D2 coincide con la mediana.
ASI va hasta el 9 cuartil (D9)
es un valor que supera a lo más al 100 % de los datoS.
Ejemplos:
a) Dado el siguiente conjunto de datos: 2 ; 5 ; 9 ; 3 ; 13 ; 10 ; 11 ; 6 ; 7. ¿Cuál es el valor del 5TO decil ?
1° ordenamos los datos de menor a mayor:
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13
n= 9
2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/10)
D5 = 5 (9 /10)
D5 = 4,5
En caso de ser un número decimal se aproxima al entero más cercano superior , que sería 5. Este valor indica la posición del DECIL 5.
-En nuestro caso el 5° valor sería :
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13
Respuesta: el valor del tercer DECIL sería 7
b) Dadas las siguientes tablas de datos. Calcule los DECiles D1,D2
Respuesta:
-En la primera serie el número total de datos es n = 70, por lo que:
.......D1 → 1(n/10) = 1( 70/10 ) = 7 (indica la posición en que se encuentra el D1)
.......D2→ 2 (n/10) = 2 (70/10) = 14 (indica la posición en que se encuentra el D2)
Y se desprende directamente de la tabla de frecuencias absolutas que:
D1 = 5, ya que si nos fijamos en la tabla el número 17,5 se encuentra contenido en el número 32 de la tabla.
D2 = 7, ya que si nos fijamos en la tabla el número 35 se encuentra contenido en el número 52 de la tabla.
PERCENTILES (Pk)
DEFINICION:
son los noventa y nueve valores de la variable de una distribución que la dividen en cien partes iguales es decir, al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. Los percentiles se designan por P1, P2,... P99
P50 coincide con la mediana.
El percentil p (Pp) es un valor de la variable tal que el p% de la muestra está por debajo y el (100p) % está sobre.
Al tener una tabla de frecuencias, el percentil de orden K (Pk) se calcula siguiendo los siguientes pasos:
1° Se determina el intervalo al cual pertenece el percentil por calcular en la tabla de frecuencias:
en donde:
K = {1, 2, …, 99}
n =es el número de datos.
Si es decimal se aproxima al entero más cercano superior.
Buscamos este valor en la columna de la frecuencia acumulada. El cual es el primer valor de x cuya frecuencia acumulada sobrepasa el resultado de este cálculo.
2° Luego, Para calcular el percentil Pk correspondiente al k% de los datos se puede utilizar la siguiente fórmula:
Donde:
Li....... es el límite inferior del intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
ai .......es la amplitud del intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
Fi-1 ....es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra el k%..... de los datos.
n ........Es el total de datos.
EJEMPLO
Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
Percentil 35
APLICAMOS LA FOMRULA MULTIPLICANDO N*PK /100
Percentil 60
APLICAMOS LA FOMRULA MULTIPLICANDO N*PK /100
